La maggior parte delle persone che non hanno studiato matematica crede che la matematica sia un edificio statico di verità. La percezione comune è che i simboli matematici rappresentano idee, e ci sono regole logiche che possono essere utilizzate per creare nuove idee: chiamate prove di teoremi. Le persone vedono i teoremi e le idee che rappresentano come un’immagine del mondo che è prevedibile e conosciuta. Ciò che sembra impedire alla maggior parte delle persone di perseguire questa conoscenza più profonda è che è davvero difficile. E Veramente noioso, vero?
Negli ultimi anni, questa visione statica della matematica si è manifestata come dipendenza dai modelli. Questi erano veri e propri modelli matematici, come nel prevedere il numero di infezioni e come il virus potrebbe diffondersi, e anche modelli mentali più generali, come nel dipendere interamente dalla scienza per dettare come dovremmo comportarci tutti: dovremmo mettere in quarantena? Dovremmo mascherarci? Dovremmo stare a due metri di distanza?
Questo punto di vista sostiene fermamente l’idea che la verità che cerchiamo sia fondamentalmente dettata da un mondo naturale che è razionale, meccanicistico e prevedibile.
Naturalmente, come individui abbiamo limiti psicologici che ci impediscono di vedere la verità in modo completamente oggettivo. Nel suo libro stellare 12 regole per la vitaJordan Peterson discute di come le nostre percezioni siano sempre focalizzate e di come ci manchi la maggior parte di ciò che il mondo ha da mostrarci. Cita studi psicologici per dimostrare il suo punto e illustra come questa osservazione sia molto antica, essendo menzionata come il maya negli antichi testi vedici indù.
Quindi abbiamo una restrizione psicologica che ci impedisce di vedere tutto nel mondo e consente solo una visione ristretta e focalizzata che è in parte guidata dai nostri desideri. Questo è vero per gli scienziati e i responsabili politici così come per le persone impegnate in altre attività.
La promessa della scienza, ovviamente, è di aggirare questo problema. C’è questo metodo, un modo per definire attentamente gli esperimenti, in modo che questa verità oggettiva possa essere condivisa con gli altri e possiamo arrivare a una comprensione comune del mondo che ci circonda. L’apice della scienza è questa credenza nel razionale, che i modelli costituiscono tutta la base della realtà oggettiva. Ma anche la scienza ha i suoi limiti nella verità che può fornire.
Scavando in profondità nella scienza, arrivi alla matematica. Sicuramente, questo costituisce la base del pensiero logico, e le verità matematiche sono complete.
Ciò che la maggior parte delle persone non sa, a meno che non si arrivi a studiare matematica a livello universitario, è che le fondamenta stesse della matematica non sono così stabili come si potrebbe pensare, e che l’idea di ciò che può o non può essere dimostrato non lo è. t così tagliato e asciutto. Rivelazioni matematiche quasi un secolo fa sconvolsero la visione meccanicistica del mondo.
Prima della fine del XX secolo, molti dei più brillanti matematici erano concentrati sulla comprensione dei suoi fondamenti. Per un matematico le fondamenta sono quegli elementi basilari della comprensione che servono da elementi costitutivi per tutto il resto. Dalle fondamenta, tutto il resto segue.
Bertrand Russell, un logico e filosofo di questo periodo, lavorò insieme al matematico-filosofo Alfred North Whitehead per costruire la matematica dai primi principi. Insieme hanno prodotto un lavoro gigantesco che descrive come tutta la matematica potrebbe essere generata da poche idee e regole di base. Il tomo in tre volumi, pubblicato tra il 1910 e il 1913 si intitolava Principi Matematici.
Per darvi un’idea dell’astrattezza di questa ricerca, inizia partendo da una verità fondamentale della nostra percezione umana. Afferma che essenzialmente sappiamo come separare un oggetto da un altro, e quindi possiamo iniziare a raggruppare quegli oggetti.
Così comincia: il primo insieme è quello del nulla. (Davvero!) Ma il idea di niente è qualcosa. Se identifichiamo l’insieme che contiene una cosa, quel nulla, ora abbiamo un insieme che è più grande di niente, ed è così che possiamo definire il numero 1. Così va, con regole definite su come arrivare da una cosa matematica a un altro, le regole della logica, che costruiscono l’intero universo conosciuto della matematica.
All’epoca la comunità matematica lo considerava un fantastico progresso. Infuriavano i dibattiti su cosa significasse per la comprensione umana. Ad esempio, se tutta la verità matematica potesse essere generata utilizzando principi di base e regole logiche, perché abbiamo bisogno dei matematici? Un computer (una volta sviluppato) potrebbe andare avanti ciecamente creando nuovi teoremi dal nulla. Se credi che la matematica sia il linguaggio della natura, allora questo fornirebbe un modo meccanicistico per scoprire tutti i misteri della natura.
I sogni delle basi fondamentali della matematica vissero per un decennio e mezzo finché non furono infranti per sempre da un giovane matematico ceco di nome Kurt Godel. Nel 1930 Gödel produsse una dimostrazione che lo mostrava esplicitamente Principi Matematici era incompleto. L’essenza di ciò che ha detto è che dentro Qualunque sistema formale:
Ci sono cose vere che non possono essere dimostrate vere.
Sorprendentemente, Gödel ha dimostrato questa affermazione con costruzione. Ciò significa che ha effettivamente dimostrato che usando le regole di Principi Matematici poteva creare un’affermazione del genere, vera, ma che non poteva essere dimostrata vera dalle regole. Come ha costruito una cosa del genere?
Ha attaccato lo scopo generale di Principia con un ingegnoso nuovo metodo di logica. Ad ogni verità associava un numero e ad ogni regola logica associava un modo per passare da numeri di verità ad altri numeri di verità. Ogni passaggio era anche associato a un numero. Poi, usando i numeri contro se stessi, ha creato un nuovo numero, che doveva essere un numero vero, ma che non si poteva ottenere con gli altri numeri.
È stato questo meccanismo ricorsivo, in cui i numeri erano sia istruzioni che fasi di istruzioni, a ispirare questa rivelazione. Così scoprì che c’era un numero corrispondente a un’affermazione che era vera nell’ambito di Principiama che non poteva essere dimostrata con le regole per generare numeri di verità.
Con un solo colpo, Gödel distrusse gli anni di lavoro di Russell e Whitehead e decine di altri logici che cercavano questo Nirvana di verità fondamentale che avrebbe costruito tutta la matematica e, per estensione, la nostra comprensione dell’universo fisico.
In sostanza, ha usato il potere della logica e dei numeri contro se stesso.
Questo è importante.
Non importa quello che hai fatto come matematico, non importa quale modello hai creato, non importa quanto accuratamente hai definito i presupposti e le regole fondamentali, non potresti mai raggiungere una comprensione completa dell’argomento che stavi tentando di studiare.
Il lavoro di Gödel esiste solo nel regno della matematica. Non prova nulla nel regno scientifico o umano, tranne dove questi si intersecano con la matematica. Ma può informare decisioni reali nelle nostre vite.
Abbiamo costantemente idee che ci vengono presentate dagli esperti che ci mostrano un modo di vivere e di credere. Sono tutti modelli, presumibilmente basati sulla razionalità e sulla logica. Queste idee sono presentate come la fine di tutto. Sono presentati come se non ci fosse altra verità. Gödel ci ha mostrato che questa visione meccanicistica della natura non regge contro il più elementare controllo della logica.
Ci sono verità umane.
Ci sono verità spirituali.
Ci sono verità più profonde nel cosmo che non ci è permesso capire.
Ogni volta che un politico, o un’autorità, o anche un amico ti dice che tutto è noto, che c’è un modello che definisce la verità, e che seguendo il modello si conoscerà il futuro, sii scettico. Ci sono misteri oltre la comprensione umana che sfuggono anche al ragionamento logico più profondo dell’uomo.
E questo è stato dimostrato, da un uomo.
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